Calculus (I) - ফাংশন (Functions) - পূর্ণ পরিচিতি ও উদাহরণ
বাংলাদেশ জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়ের অনার্স প্রথম বর্ষের Calculus (I) — (ফাংশন) এর উপর বিশদ পরিচিতি, সংজ্ঞা, প্রকারভেদ, গুণাবলি ও প্রয়োগ — গণিত উদাহরণসহ।
১. ফাংশনের সংজ্ঞা
গাণিতিকভাবে, একটি ফাংশন \(f\) হল এমন একটি নিয়ম (rule) যা প্রতিটি ইনপুট (এলিমেন্ট)কে একমাত্র একটি আউটপুটের সাথে যুক্ত করে। যদি \(A\) থেকে \(B\) তে একটি ফাংশন থাকে, আমরা লিখি \(f:A \to B\) এবং প্রতিটি \(x\in A\) এর জন্য একটি নির্দিষ্ট \(f(x)\in B\) থাকে।
উদাহরণ (সাধারণ): \(f(x)=2x+1\) একটি ফাংশন যা বাস্তব সংখ্যা গ্রহণ করে এবং বাস্তব সংখ্যাকে আউটপুট দেয়। এখানে \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)।
Well-defined Deterministic
Bounded Periodic
২. ডমেইন (Domain) ও রেঞ্জ (Range)
- ডমেইন হল সেই সমস্ত ইনপুটের সেট যাদের উপর ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। - রেঞ্জ (বা কোরেঞ্জ) হল আউটপুটের সেট — ফাংশন বাস্তবে কোন কোন মান দেয় তাকে রেঞ্জ বলে।
উদাহরণ: \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) হলে \(x=2\) এ ভাগ শূন্য হবে; সুতরাং ডোমেইন হলো \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)। রেঞ্জ হলো \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (যাহা দেখাতে গেলে একে আলাদা ভাবে প্রমাণ করতে হবে)।
প্র্যাকটিস— \(g(x)=\sqrt{x-1}\) এর ডমেইন কী?
উত্তর: \(x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1\), সুতরাং ডমেইন \([1,\infty)\)।
ডোমেইন: যেখানে ফাংশন সংজ্ঞায়িত। রেঞ্জ: ফাংশন বাস্তবে যে মানসমূহ দেয়।
| ফাংশন \(f(x)\) | ডোমেইন | রেঞ্জ | নোট |
|---|---|---|---|
| \( \dfrac{1}{x} \) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | ভাগে শূন্য নয় |
| \( \sqrt{x-4} \) | \([4,\infty)\) | \([0,\infty)\) | র্যাডিক্যান্ড \(\ge 0\) |
| \(\ln x\) | \((0,\infty)\) | \((-\infty,\infty)\) | ধনাত্মক ইনপুট |
| \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,\infty)\) | নিরন্তর বৃদ্ধিশীল |
৩. ফাংশনের প্রকারভেদ
ইনজেক্টিভ (এক-ইন-ওয়ান)
ফাংশন \(f:A\to B\) ইনজেক্টিভ যদি আলাদা ইনপুটগুলোর আউটপুট আলাদা হয়; অর্থাৎ \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)।
উদাহরণ: \(f(x)=2x+1\) ইনজেক্টিভ কারণ \(2x_1+1=2x_2+1\) হলে \(x_1=x_2\)।
সারজেক্টিভ (অন-টু)
ফাংশন সারজেক্টিভ যদি প্রতিটি \(y\in B\) জন্য কমপক্ষে একটি \(x\in A\) থাকে যাতে \(f(x)=y\)।
উদাহরণ: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) হিসাবে \(f(x)=x^3\) সারজেক্টিভ (এবং ইনজেক্টিভও)।
বিজেক্টিভ
যদি ফাংশন একই সাথে ইনজেক্টিভ ও সারজেক্টিভ হয়, সেটাকে বিজেক্টিভ বলা হয়—মানে একটি ও একমাত্র ইনভার্স ফাংশন আছে।
- ইনজেক্টিভ: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)। যেমন \(f(x)=3x+2\)।
- সারজেক্টিভ: প্রতিটি \(y\in B\)-এর জন্য অন্তত একটি \(x\in A\) আছে যেন \(f(x)=y\)। যেমন \(f(x)=x^3\) (ডোমেইন/কোডোমেইন \(\mathbb{R}\))।
- বিজেক্টিভ: উভয়ই হলে। ইনভার্স বিদ্যমান থাকে।
৪. মৌলিক (Elementary) ফাংশন
- ধ্রুবক ফাংশন: \(f(x)=c\) (যেখানে \(c\) ধ্রুবক)।
- রৈখিক ফাংশন: \(f(x)=ax+b\)।
- বহুপদী (Polynomial): \(p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\)।
- রাশিচিহ্ন (Rational): \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) যেখানে \(q(x)\neq 0\)।
- মূলধারার (Root), ঘন স্থানচ্যুতি ও ট্রিগোনোমেট্রিক, লগ ও এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন।
উদাহরণ: \(h(x)=x^2-4x+3\)। এর রুটগুলো নির্ণয়: \(x^2-4x+3=0\Rightarrow (x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,3\)।
উদাহরণ: \(x^2-3x+2\) — রুট: \(x=1,2\)।
উদাহরণ: \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1,\; x\ne 1\)।
৫. ফাংশনের উপর মৌলিক অপারেশন
ধরি, \(f\) ও \(g\) দুটি ফাংশন। তখন
- যোগ: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
- বিয়োগ: \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)
- গুণ: \((fg)(x)=f(x)\cdot g(x)\)
- ভাগ: \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\), যেখানে \(g(x)\neq 0\)
উদাহরণ: \(f(x)=x^2,\; g(x)=\sqrt{x}\) (ডমেইন খেয়াল করে কাজ করতে হবে)।
যোগ/বিয়োগ/গুণ/ভাগ এবং স্কেলার মাল্টিপ্লিকেশন: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\), \((fg)(x)=f(x)g(x)\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) যেখানে \(g(x)\ne 0\)।
উদাহরণ: \(f(x)=x^2,\; g(x)=x+1\) \((f+g)(x)=x^2+x+1,\quad (fg)(x)=x^3+x^2\)।৬. কম্পোজিট (সংযোজিত) ফাংশন
যদি \(f:A\to B\) এবং \(g:B\to C\) হয়, তাহলে তাদের কম্পোজিট \(g\circ f\) সংজ্ঞায়িত হয় এবং
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
উদাহরণ ১: \(f(x)=x+1,\; g(x)=2x\)। তাহলে \((g\circ f)(x)=g(f(x))=2(x+1)=2x+2\)। আর \((f\circ g)(x)=f(g(x))=2x+1\)।
উদাহরণ ২ (ডোমেইন-সাবধান): \(f(x)=\sqrt{x}\) (ডমেইন \(x\ge0\)) ও \(g(x)=x-1\) হলে \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-1}\) — এখানে ডোমেইন হচ্ছে \(x\ge 1\)।
যদি \(f:A\to B\), \(g:B\to C\), তবে \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)।
উদাহরণ: \(f(x)=x+1,\; g(x)=x^2\) \((g\circ f)(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\); \((f\circ g)(x)=x^2+1\)।৭. ইনভার্স ফাংশন (Inverse function)
ফাংশন \(f:A\to B\) যদি বিজেক্টিভ হয়, তবে একটি অনন্য ইনভার্স \(f^{-1}:B\to A\) আছে যেটা প্রতিটি \(y\in B\) কে তার অনুলিপি \(x\in A\) দেয় যেখানে \(f(x)=y\)।
প্রক্রিয়া (রৈখিক উদাহরণ): \(f(x)=2x+1\) নেওয়া যাক। \(y=2x+1\) লিখে \(x\) সমাধান করলে \(x=\dfrac{y-1}{2}\)। তাই \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}\)। যদি আমরা ইনলাইন নোট লিখি তখন \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\)।
শর্ত যাচাই: \(f(f^{-1}(x))=x\) এবং \(f^{-1}(f(x))=x\) — এগুলো চেক করে ইনভার্স ঠিক কিনা যাচাই করা যায়।
নোট: \(f(x)=x^2\) (ডোমেইন \(\mathbb{R}\)) ইনভার্স নাও থাকতে পারে কারণ এটি ইনজেক্টিভ নয় — দুইটি ভিন্ন ইনপুট একফল দেয় (e.g., \((-2)^2=2^2\))। যদি আমরা ডোমেইন সীমাবদ্ধ করি \(x\ge0\) তে, তাহলে \(f\) ইনভার্সেবল হয় এবং \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)।
বিজেক্টিভ \(f\)-এর ইনভার্স \(f^{-1}\) থাকে: \(f(f^{-1}(y))=y\) ও \(f^{-1}(f(x))=x\)।
উদাহরণ (লিনিয়ার): \(f(x)=2x+3\) \(y=2x+3 \Rightarrow x=\dfrac{y-3}{2} \Rightarrow f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\)।৮. ফাংশনের গ্রাফ এবং তার ব্যবহার
ফাংশনের গ্রাফ হল ইনপুট-আউটপুট সম্পর্কের ভিজ্যুয়াল রিপ্রেজেন্টেশন। গ্রাফ দেখে ডোমেইন, রেঞ্জ, ক্রমশতা (increasing/decreasing), সর্বোচ্চ/ন্যূনতম মান ইত্যাদি সহজে ক্যালকুলাসে ব্যবহার করা যায় — বিশেষত সীমা ও ডিফারেনসিয়ালে।
উদাহরণ: \(f(x)=x^2\) এর গ্রাফ একটি পারাবোলা; ডোমেইন \(\mathbb{R}\), রেঞ্জ \([0,\infty)\)।
৯. অনুশীলনী প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন ১
ধরা যাক \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\)। ডোমেইন ও রেঞ্জ নির্ণয় করুন।
সমাধান:ডোমেইন: \(x\neq 2\Rightarrow \mathbb{R}\setminus\{2\}\).
রেঞ্জ:
\(f(x)=y\Rightarrow y=\dfrac{1}{x-2}\Rightarrow x-2=\dfrac{1}{y}\Rightarrow x=2+\dfrac{1}{y}\). যদি \(y=0\) হয়\(\Rightarrow\) অসাম্ভব (দেওয়া যায় না)। তাই রেঞ্জ \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)।
প্রশ্ন ২
প্রমাণ করুন \(f(x)=2x+1\) ইনজেক্টিভ এবং সারজেক্টিভ (যদি \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ধরা হয়)।
সমাধান:ইনজেক্টিভ: ধরুন \(2x_1+1=2x_2+1\Rightarrow 2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2\)। তাই ইনজেক্টিভ।
সারজেক্টিভ: যেকোনো \(y\in\mathbb{R}\) ধরা যাক। সমীকরণ \(y=2x+1\) থেকে \(x=\dfrac{y-1}{2}\) থাকে, যা বাস্তব। তাই প্রতিটি \(y\) এর জন্য একটি \(x\) আছে। ফলে সারজেক্টিভ।
প্রশ্ন ৩
\(f(x)=x^2\) কে \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ধরে ইনভার্সেবল করা যায় কি? যদি না পারি, কিভাবে সীমাবদ্ধ করে ইনভার্স তৈরি করা যায়?
সমাধান:সব রিয়াল ডোমেইন নিয়ে \(x^2\) ইনজেক্টিভ নয় (কারণ \(x\) ও \(-x\) একই মান দেয়)। যদি আমরা ডোমেইন সীমাবদ্ধ করে ধরি \(x\ge0\) (বা \(x\le0\)) তবে ফাংশনটি ইনজেক্টিভ হয় এবং ইনভার্স হয় \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) (বা \(-\sqrt{x}\) ডোমেইন অনুযায়ী)।
প্রশ্ন ৪ (বাস্তব প্রয়োগ)
সমাধানঃ জনসংখ্যা বৃদ্ধি \(P(t)=P_0 e^{rt}\)যদি \(P_0=1{,}00{,}000\) ও \(r=0.02\) (বার্ষিক ২%), তবে \(t=5\) বছরে \(P(5)=100000\cdot e^{0.1}\approx 110{,}517\)।
প্রশ্ন ৫ (কম্পোজিট চেক)
যদি \(f(x)=x^2\) (ডোমেইন \([0,\infty)\)) ও \(g(x)=\sqrt{x}\) হয়, \(g\circ f\) ও \(f\circ g\) লিখুন ও ব্যাখ্যা করুন।
সমাধান:\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=\sqrt{x^2}=x\) (কারণ ডোমেইন \(x\ge0\), তাই \(\sqrt{x^2}=x\)). \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x\) (এখানেও ডোমেইন রেঞ্জ খেয়াল করতে হবে)।
MCQ
| # | প্রশ্ন | বিকল্প | উত্তর |
|---|---|---|---|
| ১ | \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) — কোন মান ডোমেইনে নেই? | (A) \(1\) (B) \(-2\) (C) \(0\) (D) \(5\) | (C) |
| ২ | \(f(x)=e^x\) — রেঞ্জ কী? | (A) \(\mathbb{R}\) (B) \([0,\infty)\) (C) \((0,\infty)\) (D) \((-\infty,0)\) | (C) |
| ৩ | \(f(x)=\sin x\) — কেন ইনজেক্টিভ নয়? | (A) পিরিয়ডিক (B) বাউন্ডেড নয় (C) এক্সপোনেনশিয়াল (D) লগ | (A) — \(\sin 0=\sin \pi\) |
সংক্ষিপ্ত
- \(f(x)=\sqrt{2x-3}\) এর ডোমেইন ও রেঞ্জ নির্ণয় করুন।
উত্তর \(2x-3\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac{3}{2}\); রেঞ্জ \([0,\infty)\)। - প্রমাণ করুন \(f(x)=x^3\) \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) এ বিজেক্টিভ।
উত্তর ইনজেক্টিভ: \(x_1^3=x_2^3\Rightarrow x_1=x_2\); সারজেক্টিভ: \(y\Rightarrow x=\sqrt[3]{y}\)।
বর্ণনা মূলক
- \(f(x)=x^2\) কে ইনভার্সেবল করতে ডোমেইন কীভাবে সীমাবদ্ধ করবেন? প্রমাণসহ ইনভার্স লিখুন।
সমাধান রূপরেখা \(\mathbb{R}\) এ ইনজেক্টিভ নয়; \([0,\infty)\) (বা \((-\infty,0]\)) এ সীমাবদ্ধ করলে ইনজেক্টিভ হয়; ইনভার্স \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) (বা \(-\sqrt{x}\))। - \(f(x)=x+1,\; g(x)=\sqrt{x}\) — \((g\circ f)(x)\) ও \((f\circ g)(x)\) নির্ণয় করে ডোমেইন আলোচনা করুন।
সমাধান রূপরেখা \((g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}\) — ডোমেইন \(x\ge -1\); \((f\circ g)(x)=\sqrt{x}+1\) — ডোমেইন \(x\ge 0\)।
১০. উপসংহার
ফাংশন হল ক্যালকুলাসের ভিত্তি—ডোমেইন, রেঞ্জ, ইনজেক্টিভিটি, সারজেক্টিভিটি, কম্পোজিশন ও ইনভার্স ধারণাগুলো পরে সীমা (limits), ডিফারেনসিয়াল (derivative) ও ইন্টিগ্রেশনে সরাসরি প্রয়োগ পায়। উপরোক্ত উদাহরণগুলো থেকে আপনার ধারণা পরিষ্কার হলে ভালো হবে; অনুশীলন চালিয়ে যান এবং গ্রাফও অঙ্কন করে সম্পর্কটি ভিজুয়ালি উপলব্ধি করার চেষ্টা করুন।নিয়মিত অনুশীলনই অগ্রগতির চাবিকাঠি।