HSC উচ্চতর গণিত: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, সংযুক্ত কোণ ও বিপরীত কোণের সকল সূত্র (উদাহরণসহ)

ত্রিকোনমিতি (Trigonometry) হলো উচ্চতর গণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা, যা বাংলাদেশ HSC পরীক্ষায় নিয়মিত এবং নিশ্চিতভাবে আসে। উচ্চতর গণিতের ১ম পত্র ও ২য় পত্র-এ ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত এবং বিপরীত কোণের ও বিপরীত ত্রিকোনমিতিকের সূত্রগুলো ভালোভাবে না জানলে ভালো রেজাল্ট করা প্রায় অসম্ভব।

এই পোস্টে আমরা ধাপে ধাপে আলোচনা করব:

ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা
ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের মৌলিক সূত্রসমূহ
সংযুক্ত কোণের (Allied Angles) সূত্র
বিপরীত কোণের (Negative Angles) সূত্র
প্রতিটি সূত্রের উদাহরণ ও প্রয়োগ
বিপরীত ত্রিকোনমিতিকের সূত্রগুলো
MCQ

১. ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ধারণা

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো একটি সূক্ষ্ম কোণের জন্য বাহুগুলোর পারস্পরিক অনুপাতকে ত্রিকোনমিতিক অনুপাত বলে।

ধরি, ∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে,

∠B = 90°
∠A = θ

তাহলে,

অতিভুজ = AC
লম্ব = BC
ভূমি = AB

২. ছয়টি মৌলিক ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

(ক) sine (sin)

\( \sin \theta = \frac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} \)

(খ) cosine (cos)

\( \cos \theta = \frac{\text{Base}}{\text{Hypotenuse}} \)

(গ) tangent (tan)

\( \tan \theta = \frac{\text{Perpendicular}}{\text{Base}} \)

(ঘ) cosecant (cosec)

\( cosec \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Perpendicular}} \)

(ঙ) secant (sec)

\( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Base}} \)

(চ) cotangent (cot)

\( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Base}}{\text{Perpendicular}} \)

৩. ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের মৌলিক সূত্র

Reciprocal সম্পর্ক

\( \sin \theta = \frac{1}{cosec \theta} \)
\( \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} \)
\( \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} \)

Quotient সম্পর্ক

\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)

Pythagorean সূত্র

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \)
\( 1 + \cot^2 \theta = cosec^2 \theta \)

৪. সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত (Allied Angles)

যেসব কোণ 90°, 180°, 270°, 360° এর সাথে যুক্ত থাকে, তাদের সংযুক্ত কোণ বলা হয়।

(ক) \( 90^\circ - \theta \)

\( \sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta \)
\( \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta \)
\( \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta \)
\( cosec(90^\circ - \theta) = \sec \theta \)
\( \sec(90^\circ - \theta) = cosec \theta \)
\( \cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta \)

উদাহরণ

\( \sin(90^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

(খ) \( 90^\circ + \theta \)

\( \sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta \)
\( \cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta \)
\( \tan(90^\circ + \theta) = -\cot \theta \)
\( cosec(90^\circ + \theta) = \sec \theta \)
\( \sec(90^\circ + \theta) = -cosec \theta \)
\( \cot(90^\circ + \theta) = -\tan \theta \)

(গ) \( 180^\circ - \theta \)

\( \sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta \)
\( \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta \)
\( \tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta \)
\( cosec(180^\circ - \theta) = cosec \theta \)
\( \sec(180^\circ - \theta) = -\sec \theta \)
\( \cot(180^\circ - \theta) = -\cot \theta \)

(ঘ) \( 180^\circ + \theta \)

\( \sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta \)
\( \cos(180^\circ + \theta) = -\cos \theta \)
\( \tan(180^\circ + \theta) = \tan \theta \)
\( cosec(180^\circ + \theta) = -cosec \theta \)
\( \sec(180^\circ + \theta) = -\sec \theta \)
\( \cot(180^\circ + \theta) = \cot \theta \)

(ঙ) \( 270^\circ - \theta \)

\( \sin(270^\circ - \theta) = -\cos \theta \)
\( \cos(270^\circ - \theta) = -\sin \theta \)
\( \tan(270^\circ - \theta) = \cot \theta \)
\( cosec(270^\circ - \theta) = -\sec \theta \)
\( \sec(270^\circ - \theta) = -cosec \theta \)
\( \cot(270^\circ - \theta) = \tan \theta \)

(চ) \( 270^\circ + \theta \)

\( \sin(270^\circ + \theta) = -\cos \theta \)
\( \cos(270^\circ + \theta) = \sin \theta \)
\( \tan(270^\circ + \theta) = -\cot \theta \)
\( cosec(270^\circ + \theta) = -\sec \theta \)
\( \sec(270^\circ + \theta) = cosec \theta \)
\( \cot(270^\circ + \theta) = -\tan \theta \)

(ছ) \( 360^\circ - \theta \)

\( \sin(360^\circ - \theta) = -\sin \theta \)
\( \cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta \)
\( \tan(360^\circ - \theta) = -\tan \theta \)
\( cosec(360^\circ - \theta) = -cosec \theta \)
\( \sec(360^\circ - \theta) = \sec \theta \)
\( \cot(360^\circ - \theta) = -\cot \theta \)

৫. বিপরীত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

বিপরীত কোণ বলতে বোঝায় \( -\theta \)।

\( \sin(-\theta) = -\sin \theta \)
\( \cos(-\theta) = \cos \theta \)
\( \tan(-\theta) = -\tan \theta \)
\( cosec(-\theta) = -cosec \theta \)
\( \sec(-\theta) = \sec \theta \)
\( \cot(-\theta) = -\cot \theta \)

উদাহরণ

\( \cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

৬. Even ও Odd Function ভিত্তিক সূত্র

ত্রিকোনমিতিক ফাংশনগুলো Even ও Odd হওয়ার কারণে বিপরীত কোণের সূত্রগুলো তৈরি হয়।

Odd Functions

\( \sin(-\theta) = -\sin \theta \)
\( \tan(-\theta) = -\tan \theta \)
\( cosec(-\theta) = -cosec \theta \)
\( \cot(-\theta) = -\cot \theta \)

Even Functions

\( \cos(-\theta) = \cos \theta \)
\( \sec(-\theta) = \sec \theta \)

৭. পরীক্ষায় কমন ভুল ও টিপস

Quadrant অনুযায়ী চিহ্ন (+/–) নির্ধারণ করো
সূত্র মুখস্থ না করে লজিক বোঝো
স্ট্যান্ডার্ড কোণের মান (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ভালোভাবে আয়ত্ত করো

৮. দুই কোণের যোগ ও বিয়োগের সূত্র (Compound Angle Formula)

যখন দুটি ভিন্ন কোণ A ও B একসাথে যোগ বা বিয়োগ করা হয়, তখন যে ত্রিকোনমিতিক সূত্রগুলো পাওয়া যায় সেগুলোকে Compound Angle Formula বলা হয়। এগুলো HSC পরীক্ষায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Sin(A + B) ও Sin(A − B)

\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)

Cos(A + B) ও Cos(A − B)

\( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
\( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)

Tan(A + B) ও Tan(A − B)

\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)
\( \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \)

৯. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formula)

Sin 2A

\( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \)

Cos 2A (তিনটি রূপ)

\( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \)
\( \cos 2A = 1 - 2\sin^2 A \)
\( \cos 2A = 2\cos^2 A - 1 \)

Tan 2A

\( \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \)

১০. ত্রিগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formula)

Sin 3A

\( \sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A \)

Cos 3A

\( \cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A \)

Tan 3A

\( \tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A} \)

১১. অর্ধ-কোণের সূত্র (Half Angle Formula)

Sin(A/2)

\( \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} \)

Cos(A/2)

\( \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \)

Tan(A/2)

\( \tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} \)
\( \tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} \)
\( \tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} \)

এখানে ± চিহ্ন Quadrant অনুযায়ী নির্ধারণ করতে হয়।

১২. Sum-to-Product ও Product-to-Sum সূত্র (Advanced – HSC 2nd Paper)

Sum to Product

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \)
\( \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \)
\( \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} \)

Product to Sum

\( 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \)
\( 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \)
\( 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) \)

১৩. পরীক্ষায় সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সংযুক্ত কোণের সূত্র (Quick List)

\( \sin(A+B), \cos(A+B), \tan(A+B) \)
\( \sin 2A, \cos 2A, \tan 2A \)
\( \sin 3A, \cos 3A \)
\( \tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1+\cos A} \)

১৪. বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometry)

যেসব ফাংশনের মাধ্যমে ত্রিকোনমিতিক অনুপাত থেকে কোণ নির্ণয় করা হয়, সেগুলোকে বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন বলে।

প্রধানত ব্যবহৃত বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশনগুলো হলো:

\( \sin^{-1}x \) বা arcsin x
\( \cos^{-1}x \) বা arccos x
\( \tan^{-1}x \) বা arctan x
\( cosec^{-1}x \)
\( \sec^{-1}x \)
\( \cot^{-1}x \)

১৫. Principal Value ও Domain–Range

Principal Value Range

\( \sin^{-1}x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( \cos^{-1}x \in [0, \pi] \)
\( \tan^{-1}x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)
\( cosec^{-1}x \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( \sec^{-1}x \in [0, \pi], x \neq \frac{\pi}{2} \)
\( \cot^{-1}x \in (0, \pi) \)

Domain

\( \sin^{-1}x, \cos^{-1}x \Rightarrow -1 \le x \le 1 \)
\( \tan^{-1}x, \cot^{-1}x \Rightarrow -\infty < x < \infty \)
\( \sec^{-1}x, cosec^{-1}x \Rightarrow |x| \ge 1 \)

১৬. মৌলিক Inverse Trigonometric সূত্র

\( \sin(\sin^{-1}x) = x \)
\( \cos(\cos^{-1}x) = x \)
\( \tan(\tan^{-1}x) = x \)
\( \sin^{-1}(\sin x) = x \), যেখানে x principal range-এ

১৭. Complementary সম্পর্ক

\( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)
\( \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)
\( \sec^{-1}x + cosec^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)

১৮. Negative Argument সূত্র

\( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x \)
\( \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x \)
\( \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x \)
\( \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x \)
\( \sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}x \)
\( cosec^{-1}(-x) = -cosec^{-1}x \)

১৯. Reciprocal সম্পর্ক

\( \sin^{-1}x = cosec^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \)
\( \cos^{-1}x = \sec^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \)
\( \tan^{-1}x = \cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \)

২০. গুরুত্বপূর্ণ রূপান্তর সূত্র

\( \tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \)
\( \tan^{-1}x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) \)
\( \sin^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) \)
\( \cos^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) \)

২১. যোগ ও বিয়োগ সূত্র (Very Important)

\( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right), \; xy < 1 \)
\( \tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \)

২২. Special Value

\( \sin^{-1}0 = 0 \)
\( \sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2} \)
\( \cos^{-1}0 = \frac{\pi}{2} \)
\( \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4} \)
\( \tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \)

২৩. পরীক্ষায় করণীয় (HSC Tips)

সবসময় Principal Value Range মাথায় রাখবে
\( \sin^{-1}(\sin x) \) সরাসরি x নয় — range check করবে
\( \tan^{-1}x \) যোগ-বিয়োগে condition লক্ষ্য করবে
MCQ-তে π/2, π/4, π/3 খুব বেশি আসে

২৪. MCQ Bank – ত্রিকোনমিতি (HSC)

MCQ 1

\( \sin(180^\circ - 30^\circ) = ? \)

A. \( \frac{1}{2} \)
B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
C. \( -\frac{1}{2} \)
D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

উত্তর: A

MCQ 2

\( \cos(-60^\circ) = ? \)

A. -1/2
B. 1/2
C. √3/2
D. -√3/2

উত্তর: B

MCQ 3

কোন Quadrant-এ tan ধনাত্মক?

A. 1st ও 2nd
B. 2nd ও 3rd
C. 1st ও 3rd
D. 3rd ও 4th

উত্তর: C

MCQ 4

\( \tan(90^\circ - \theta) = ? \)

A. tan θ
B. cot θ
C. sec θ
D. cosec θ

উত্তর: B

MCQ 5

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = ? \)

A. 0
B. 1
C. 2
D. tan θ

উত্তর: B

২৫. Inverse Trigonometry MCQ Bank (২০টি প্রশ্ন)

নিচের MCQ গুলো HSC Board, Test Paper এবং Admission Test ভিত্তিক। প্রতিটি প্রশ্ন ভালোভাবে অনুশীলন করলে Inverse Trigonometry অধ্যায় থেকে নিশ্চিত নম্বর পাওয়া সম্ভব।

MCQ 1

\( \sin^{-1}(1) = ? \)

A. 0
B. \( \frac{\pi}{6} \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( \pi \)

MCQ 2

\( \cos^{-1}(0) = ? \)

A. 0
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( \pi \)

MCQ 3

\( \tan^{-1}(1) = ? \)

A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{3} \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 4

\( \sin^{-1}(-1) = ? \)

A. \( \frac{\pi}{2} \)
B. \( -\frac{\pi}{2} \)
C. 0
D. \( \pi \)

MCQ 5

\( \cos^{-1}(-1) = ? \)

A. 0
B. \( \frac{\pi}{2} \)
C. \( \pi \)
D. \( 2\pi \)

MCQ 6

\( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = ? \)

A. 0
B. \( \pi \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( 2\pi \)

MCQ 7

\( \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = ? \)

A. 0
B. \( \pi \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( 2\pi \)

MCQ 8

\( \sin^{-1}(\sin \frac{\pi}{3}) = ? \)

A. \( \frac{\pi}{3} \)
B. \( \frac{2\pi}{3} \)
C. \( \frac{\pi}{6} \)
D. \( \pi \)

MCQ 9

\( \sin^{-1}(\sin \frac{5\pi}{6}) = ? \)

A. \( \frac{5\pi}{6} \)
B. \( \frac{\pi}{6} \)
C. \( \frac{2\pi}{3} \)
D. \( \pi \)

MCQ 10

\( \cos^{-1}(\cos \frac{5\pi}{6}) = ? \)

A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( \frac{5\pi}{6} \)
C. \( \frac{2\pi}{3} \)
D. \( \pi \)

MCQ 11

\( \tan^{-1}(-1) = ? \)

A. \( \frac{\pi}{4} \)
B. \( -\frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{3\pi}{4} \)
D. \( \pi \)

MCQ 12

\( \sin^{-1}(-x) = ? \)

A. \( \sin^{-1}x \)
B. \( \pi - \sin^{-1}x \)
C. \( -\sin^{-1}x \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 13

\( \cos^{-1}(-x) = ? \)

A. \( \cos^{-1}x \)
B. \( -\cos^{-1}x \)
C. \( \pi - \cos^{-1}x \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 14

\( \tan^{-1}x - \tan^{-1}y = ? \)

A. \( \tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy} \)
B. \( \tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy} \)
C. \( \tan^{-1}(x-y) \)
D. \( \tan^{-1}(xy) \)

MCQ 15

\( \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = ? \)

A. \( \tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy} \)
B. \( \tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy} \)
C. \( \tan^{-1}(x+y) \)
D. \( \tan^{-1}(xy) \)

MCQ 16

\( \tan^{-1}\sqrt{3} = ? \)

A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{3} \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 17

\( \sin^{-1}\frac{1}{2} = ? \)

A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{3} \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 18

\( \cos^{-1}\frac{1}{2} = ? \)

A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{3} \)
D. \( \frac{\pi}{2} \)

MCQ 19

\( \tan^{-1}0 = ? \)

A. 0
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( \pi \)

MCQ 20

\( \sin^{-1}0 = ? \)

A. 0
B. \( \frac{\pi}{2} \)
C. \( \pi \)
D. \( 2\pi \)

উত্তরসূচি (Answer Key)

1–C, 2–C, 3–B, 4–B, 5–C, 6–C, 7–C, 8–A, 9–B, 10–B, 11–B, 12–C, 13–C, 14–B, 15–B, 16–C, 17–A, 18–C, 19–A, 20–A

উপসংহার

এই পোস্টে HSC উচ্চতর গণিতের ত্রিকোনমিতি অধ্যায়ের সকল প্রয়োজনীয় সূত্র, সংযুক্ত কোণ, বিপরীত কোণ এবং একটি শক্তিশালী MCQ Bank উপস্থাপন করা হয়েছে। নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায় থেকে সর্বোচ্চ নম্বর অর্জন করা সম্ভব।

পোস্টটি ভালো লাগলে শেয়ার করতে ভুলবেন না। আপনার মতামত বা প্রশ্ন নিচের কমেন্টে জানান।

Search Suggest

ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, সংযুক্ত কোণ ও বিপরীত কোণের সকল সূত্র

HSC উচ্চতর গণিত: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, সংযুক্ত কোণ ও বিপরীত কোণের সকল সূত্র (উদাহরণসহ)

১. ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ধারণা

২. ছয়টি মৌলিক ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

(ক) sine (sin)

(খ) cosine (cos)

(গ) tangent (tan)

(ঘ) cosecant (cosec)

(ঙ) secant (sec)

(চ) cotangent (cot)

৩. ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের মৌলিক সূত্র

Reciprocal সম্পর্ক

Quotient সম্পর্ক

Pythagorean সূত্র

৪. সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত (Allied Angles)

(ক) \( 90^\circ - \theta \)

উদাহরণ

(খ) \( 90^\circ + \theta \)

(গ) \( 180^\circ - \theta \)

(ঘ) \( 180^\circ + \theta \)

(ঙ) \( 270^\circ - \theta \)

(চ) \( 270^\circ + \theta \)

(ছ) \( 360^\circ - \theta \)

৫. বিপরীত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

উদাহরণ

৬. Even ও Odd Function ভিত্তিক সূত্র

Odd Functions

Even Functions

৭. পরীক্ষায় কমন ভুল ও টিপস

৮. দুই কোণের যোগ ও বিয়োগের সূত্র (Compound Angle Formula)

Sin(A + B) ও Sin(A − B)

Cos(A + B) ও Cos(A − B)

Tan(A + B) ও Tan(A − B)

৯. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formula)

Sin 2A

Cos 2A (তিনটি রূপ)

Tan 2A

১০. ত্রিগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formula)

Sin 3A

Cos 3A

Tan 3A

১১. অর্ধ-কোণের সূত্র (Half Angle Formula)

Sin(A/2)

Cos(A/2)

Tan(A/2)

১২. Sum-to-Product ও Product-to-Sum সূত্র (Advanced – HSC 2nd Paper)

Sum to Product

Product to Sum

১৩. পরীক্ষায় সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সংযুক্ত কোণের সূত্র (Quick List)

১৪. বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometry)

১৫. Principal Value ও Domain–Range

Principal Value Range

Domain

১৬. মৌলিক Inverse Trigonometric সূত্র

১৭. Complementary সম্পর্ক

১৮. Negative Argument সূত্র

১৯. Reciprocal সম্পর্ক

২০. গুরুত্বপূর্ণ রূপান্তর সূত্র

২১. যোগ ও বিয়োগ সূত্র (Very Important)

২২. Special Value

২৩. পরীক্ষায় করণীয় (HSC Tips)

২৪. MCQ Bank – ত্রিকোনমিতি (HSC)

MCQ 1

MCQ 2

MCQ 3

MCQ 4

MCQ 5

২৫. Inverse Trigonometry MCQ Bank (২০টি প্রশ্ন)

MCQ 1

MCQ 2

MCQ 3

MCQ 4

MCQ 5

MCQ 6

MCQ 7

MCQ 8

MCQ 9

MCQ 10

MCQ 11