একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স থেকে বিপরীত বের করে \(A^2\) নির্ণয় — Adjoint পদ্ধতি ব্যবহার
সমস্যাঃ \( A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}2 & -4 & 4 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \) হলে \(A^2\) নির্ণয় কর।
সমাধান
দেওয়া আছে
\( A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}2 & -4 & 4 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}. \)
এখন লক্ষ্য: \(A^2\) নির্ণয় করা। আমরা adjoint (বা classical adjoint) পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রথমে ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স বের করবো অর্থাৎ \(A\) এবং পরে \(A^2\) বের করবো।
ধাপ ১ — বেস ম্যাট্রিক্স নির্ণয়
ধরি,
\( B=\begin{pmatrix}2 & -4 & 4 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}. \)
অতএব \(A^{-1}=\tfrac{1}{6}B\Rightarrow A=(A^{-1})^{-1}=(\tfrac{1}{6}B)^{-1}=6\,B^{-1}.\)
ধাপ ২ — \(B^{-1}\) বের করা (Adjoint পদ্ধতি)
১) \(\det(B)\) নির্ণয়
সরলভাবে ৩×৩ ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করলে, তৃতীয় সারি সহজ হওয়ায় (অনেক minor-এ শূণ্য থাকায়) আমরা পাই
\[ \det(B) =2\begin{vmatrix}1&-1\\0&-3\end{vmatrix} -(-4)\begin{vmatrix}1&-1\\0&-3\end{vmatrix} +4\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}. \]
এখানে \(\begin{vmatrix}1&-1\\0&-3\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-(-1)\cdot 0=-3\), এবং শেষটি ০। তাই
\(\det(B)=2(-3)+4(-3)+4(0)=-6-12=-18.\)
২) Cofactor মেট্রিক্স (প্রতিটি উপাদানের cofactor)
প্রতিটি minor ও sign নিয়ে cofactor গুলো হলো (ধীরে ধীরে দেখা যাক):
- \(C_{11}=(-1)^{2}\begin{vmatrix}1&-1\\0&-3\end{vmatrix}=-3\)
- \(C_{12}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&-1\\0&-3\end{vmatrix}=+3\)
- \(C_{13}=(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=0\)
- \(C_{21}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}-4&4\\0&-3\end{vmatrix}=-\big((-4)(-3)-4\cdot 0\big)=-12\)
- \(C_{22}=(-1)^{4}\begin{vmatrix}2&4\\0&-3\end{vmatrix}=2(-3)-4\cdot0=-6\)
- \(C_{23}=(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&-4\\0&0\end{vmatrix}=0\)
- \(C_{31}=(-1)^{4}\begin{vmatrix}-4&4\\1&-1\end{vmatrix}=(-4)(-1)-4(1)=4-4=0\)
- \(C_{32}=(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&4\\1&-1\end{vmatrix}=-\big(2(-1)-4(1)\big)=-(-2-4)=6\)
- \(C_{33}=(-1)^{6}\begin{vmatrix}2&-4\\1&1\end{vmatrix}=2(1)-(-4)(1)=2+4=6\)
তাহলে Cofactor ম্যাট্রিক্স \(C\) হচ্ছে
\( C=\begin{pmatrix} -3 & 3 & 0 \\[4pt] -12 & -6 & 0 \\[4pt] 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}. \)
৩) Adjoint (adj \(B\)) — cofactor এর transpose
\(\operatorname{adj}(B)=C^{T}=\begin{pmatrix} -3 & -12 & 0 \\[4pt] 3 & -6 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.\)
৪) \(B^{-1} = \dfrac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B)\)
\(\det(B)=-18\) হওয়ায়
\[ B^{-1}=\dfrac{1}{-18}\begin{pmatrix} -3 & -12 & 0 \\[4pt] 3 & -6 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & \tfrac{2}{3} & 0 \\[6pt] -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}. \]
ধাপ ৩ — এখন \(A\) ও \(A^2\) বের করা
আগে বলেছিলাম \(A=6\,B^{-1}\)। ফলে
\[ A = 6\cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\[4pt] -1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \]
এখন \(A^2 = A\cdot A\)। চলুন হাতে গুন করে দেখাই (সারি×কলাম ভিত্তিক):
\(A=\begin{pmatrix}1&4&0\\-1&2&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}\).
প্রতিটি উপাদান কিভাবে আসে — উদাহরণস্বরূপ প্রথম সারি, প্রথম কলাম:
\((A^2)_{11}=1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 0\cdot 0 = 1-4+0=-3.\)
কমপ্রীহেনসিভ গুনফলগুলো (সবগুলো উপাদান):
\[ A^2 = \begin{pmatrix} -3 & 12 & -8 \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. \]
ধাপে ধাপে: \(A\) থেকে \(A^2\) নির্ণয়
আমরা আগের ধাপে পেয়েছি (Adjoint পদ্ধতির মাধ্যমে):
\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \]
লক্ষ্য: \(A^2 = A\cdot A\)
এখানে আমরা প্রতিটি উপাদান (entry) আলাদা করে, ধাপে ধাপে হিসাব দেখাবো। যদি \(A^2=(b_{ij})\) হয়, তাহলে
\(b_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,a_{kj}.\)
প্রথম সারি (Row 1) — সমস্ত কলামের সঙ্গে গুণ
\((A^2)_{11}\) (Row1 · Col1):
\( (A^2)_{11} = 1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 0\cdot 0 = 1 - 4 + 0 = -3. \)
\((A^2)_{12}\) (Row1 · Col2):
\( (A^2)_{12} = 1\cdot 4 + 4\cdot 2 + 0\cdot 0 = 4 + 8 + 0 = 12. \)
\((A^2)_{13}\) (Row1 · Col3):
\( (A^2)_{13} = 1\cdot 0 + 4\cdot(-2) + 0\cdot(-2) = 0 - 8 + 0 = -8. \)
দ্বিতীয় সারি (Row 2)
\((A^2)_{21}\) (Row2 · Col1):
\( (A^2)_{21} = (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1) + (-2)\cdot 0 = -1 - 2 + 0 = -3. \)
\((A^2)_{22}\) (Row2 · Col2):
\( (A^2)_{22} = (-1)\cdot 4 + 2\cdot 2 + (-2)\cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0. \)
\((A^2)_{23}\) (Row2 · Col3):
\( (A^2)_{23} = (-1)\cdot 0 + 2\cdot(-2) + (-2)\cdot(-2) = 0 - 4 + 4 = 0. \)
তৃতীয় সারি (Row 3)
\((A^2)_{31}\) (Row3 · Col1):
\( (A^2)_{31} = 0\cdot 1 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0. \)
\((A^2)_{32}\) (Row3 · Col2):
\( (A^2)_{32} = 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + (-2)\cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0. \)
\((A^2)_{33}\) (Row3 · Col3):
\( (A^2)_{33} = 0\cdot 0 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot(-2) = 0 + 0 + 4 = 4. \)
চূড়ান্ত ফলাফল
\[ A^2 = \begin{pmatrix} -3 & 12 & -8\\[4pt] -3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. \]
ক্লিয়ার নোট: প্রতিটি entry-র জন্য আমরা সারি×কলাম নিয়মে যে গুণ-যোগ করেছি, তা উপরে ধাপে ধাপে দেখানো আছে — ছোট ম্যাট্রিক্সগুলোর ক্ষেত্রে এই হাতেকলমে পদ্ধতিটি সবচেয়ে নির্ভুল এবং বুঝতে সুবিধা হয়।
চূড়ান্ত উত্তর (সংক্ষেপে)
\(\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&-4&4\\[2pt]1&1&-1\\[2pt]0&0&-3\end{pmatrix},\quad B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}&\tfrac{2}{3}&0\\[2pt]-\tfrac{1}{6}&\tfrac{1}{3}&-\tfrac{1}{3}\\[2pt]0&0&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.\)
\(\displaystyle A=6B^{-1}=\begin{pmatrix}1&4&0\\[2pt]-1&2&-2\\[2pt]0&0&-2\end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix}-3&12&-8\\[2pt]-3&0&0\\[2pt]0&0&4\end{pmatrix}.\)
সংক্ষিপ্ত নোটস — কেন adjoint ভাল?
Adjoint পদ্ধতি বিশেষত তখন সুবিধাজনক যখন ম্যাট্রিক্সে অনেক শূন্য উপাদান থাকে — কারণ cofactor/adjoint বের করা অনেক ক্ষেত্রেই সরল হয়ে যায় এবং ক্লিয়ার এনালিটিক্যাল ভাবেও আমরা ডিটারমিন্যান্ট থেকে ইনভার্স পাই। তাছাড়া হাতে পরীক্ষায়ও এটি নির্ভরযোগ্য।
পোস্টটি ভালো লাগলে শেয়ার করতে ভুলবেন না। আপনার মতামত বা প্রশ্ন কমেন্টে জানান।
গণিতকে আরও সহজে ও বাস্তব জীবনে ব্যবহার করা শিখতে আমাদের একাডেমিক ক্লাশে জয়েন্ট হতে পারেন- www.mathcheap.com